¡Malditos infinitos!

Lo acepto, tratar con infinitos por recreación me encanta; pero ¡cómo odio tener que hacerlo por investigación! Un ejemplo de las cosas raras que hacen estos seres sin fin que resultan contraintuitivas al por mayor.
Voy a describir el problema usando sumas y máximos, aunque en realidad es más general (utilizando cualquier semianillo totalmente completo).
Mi problema es el siguiente: tengo un conjunto de sumas infinitas, de las que tengo que calcular el máximo, es decir

Ahora, tengo otro proceso que no calcula directamente las sumas infinitas primero, sino que iterativamente va calculando los máximos de sumas parciales. Quiero demostrar que lo que obtengo al final es lo mismo. Facil, ¿no?
Por inducción demuestro que en el n-ésimo paso, mi algoritmo ha calculado el máximo de todas las sumas parciales de tamaño n; en simbolitos:

Esta demostración está hecha. Pero esto no demuestra nada cercano a lo que quiero. El problema es que demostrar algo para todos los números enteros no hace que sea válido para el infinito, a menos que demuestre algún tipo de convergencia y esa convergencia no existe.
Nuevamente, ¡maldito infinito!